HKDSE · Mathematics Extended Part · Module 2 (Algebra & Calculus)
第 3 章 更多三角函数
教材全解拆解
More about Trigonometric Functions —— 依据《OSM_TBPDF_M2A03_e.pdf》（Oxford University Press，2023 年版，全 72 页）逐节拆解：知识结构、公式推导链、31 个例题考点、7 组练习题型矩阵、9 套 HKDSE 真题索引与个人学习路线。
Source: Book M2A, Chapter 3, pp. 3.1 – 3.72 · PDF pages 1 – 72
📄 72 页
📚 6 节 · 3.1–3.6
✍️ 31 个例题
🧩 6 组节练习 + 1 组综合练习
🎯 9 套 DSE 真题（2012–2022）
🧪 2 个数学归纳法应用
阅读约定
① 本拆解中 例 N 与教材例题编号完全一致，并标注教材页码（教材页码 = PDF 页码，如 p.3.23 = PDF 第 23 页）。
② Level 1 Level 2 Level 3 为教材自带的难度分级，与练习的 Level 分层一一对应。
③ 原文中的 θ 在 PDF 文本层被提取为「i」、π 被提取为「r」、° 被提取为「c」；本文已按原书真正的数学符号还原（θ、π、°）。
④ 折线可点击的「例题」为可展开的详解，打印时会自动展开。
①
全章知识地图
pp. 3.1 – 3.72本章是一条单向递进的「公式生产线」：先换单位（弧度），再扩充函数族（六个函数），再用恒等式做代数变形，最后把「角的和差」变成「函数的乘加」。前一步永远是后一步的工具，所以**跳步学习会立刻卡住**。
3.1
Foundation
弧度制 Radian Measure
θ = ℓ/r；180° = π rad。整章从此开始「只说弧度」。
3.2
Definitions
六个三角函数 Six Ratios
cosec / sec / cot 的定义、符号（CAST）、特殊角、解方程。
3.3
Algebra
三角恒等式 Identities
倒数、商、平方恒等式 + n·90°±θ 诱导公式的完整表。
3.4
Core
复角公式 Compound Angle
sin/cos/tan 的 (A±B) 六条公式，全章最重要的工具。
3.5
Derived
二倍角公式 Double Angle
令 B = A 的特例；降幂公式与三倍角的应用。
3.6
Sum ↔ Product
和积互化 Formulae
积化和差 + 和差化积，DSE 长题的标准武器。
依赖关系（必读）
① 弧度制 → ② 六函数（角度一律用弧度表示）
② 六函数 → ③ 恒等式（倒数关系是恒等式的第一块砖）
③ 恒等式 → ④ 复角公式（推导 tan 公式时必须「分子分母同除 cos A cos B」）
④ 复角公式 → ⑤ 二倍角（把 B 换成 A）
⑤ 二倍角 + ④ → ⑥ 和积互化（把 sin(A+B) 与 sin(A−B) 相加/相减）
断链预警如果你在 3.4 的证明题里卡住，90% 的原因不是复角公式没背熟，而是 3.3 的 1 + cot2θ = cosec2θ 与「奇变偶不变」不熟练。请回看 3.3。
教材页面结构模板（每节都一样）
| 板块 | 作用 | 使用建议 |
|---|---|---|
| Quick Quiz（部分节） | 概念刚讲完的即时填空 | 遮住答案口算，1 分钟内完成 |
| Class Activity / Inquiry | 让学生自己「发现」公式（如 Class Activity 3.1–3.3） | 务必亲手推一遍，公式才记得住 |
| Example N + Instant Drill N | 例题 → 同构即练，编号一一对应 | 看完例题立刻做配对 Drill，核对答案页 p.3.69+ |
| Class Practice 3.x | 节末综合（4–5 题） | 作业前的「热身检验」 |
| Exercise 3A–3F | 三档难度分级练习 | Level 1 全做；Level 2 挑做；Level 3 冲星 |
| Formulae Station | 该练习所需公式的速查框 | 闭卷做练习前，先默写此框 |
| Chapter Summary（p.3.58–59） | 全章公式 + 6 个示范例 | 考前唯一必背页 |
3.1
弧度制 Radian Measure
pp. 3.2 – 3.7 ｜ Exercise 3A本节定位
把「角度」从人为规定的 360 等分换成几何自然量——弧长与半径之比。之所以整章必须用弧度，是因为后面所有公式（尤其微分、积分与级数）都只在弧度制下成立。本节只有两个核心产出：一个定义（θ = ℓ/r）与一条换算关系（180° = π rad）。
A · 弧度的定义
圆心角 θ 所对的弧长为 ℓ、半径为 r。若弧长恰好等于半径（ℓ = r），则该圆心角的大小定义为 1 弧度（1 rad，也可写作 1c）。
核心公式
θ = ℓr rad
推导只用到初中知识「弧长与圆心角成正比」：
θ1 rad = 弧长 BC弧长 AB = ℓr ⟹ θ = ℓr rad
关键理解弧度是「长度 ÷ 长度」，是一个纯数（无量纲）。所以 sin θ、θ 本身可以相加、相乘，也能直接放进微积分公式；写成 sin θ 中的 θ 本质上没有单位。这就是为什么「1 rad 有时省略单位写作 θ = 1」。
B · 度与弧度的换算
取半圆：θ = 180°，弧长 ℓ = 12(2πr) = πr，代入 θ = ℓ/r 得 θ = π rad。
换算基准
180° = π rad
1° = π180 rad ≈ 0.0175 rad （度 → 弧度：× π180）
1 rad = 180π° ≈ 57.3° （弧度 → 度：× 180π）
本节例题（含答案要点）
例 1度 → 弧度（p.3.4）Level 1乘以 π/180
把 60°、90°、315° 化为弧度，答案以 π 表示。
60° = 60 × π180 = π3 rad
90° = 90 × π180 = π2 rad
315° = 315 × π180 = 7π4 rad
套路：度 → 弧度，唯一动作就是「× π/180」，然后约分。315 = 45 × 7，180 = 45 × 4，所以直接得 7π/4——先约分再乘 π 更快。
例 2弧度 → 度（p.3.5）Level 1乘以 180/π
把 π4 rad 与 1.5 rad 化为度（必要时取 3 位有效数字）。
π4 rad = π4 × 180°π = 45° （快法：直接把 π rad 换成 180°）
1.5 rad = 1.5 × 180°π ≈ 85.9°（3 位有效数字）
两种写法含 π 的答案用「替换法」最省事（π rad = 180°）；纯小数则必须保留 π 在分母并用计算器，注意有效数字要求（此章多为 3 sig. fig.）。
必须内化的「弧度化」结果表
| 度 | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 弧度 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2π/3 | 3π/4 | 5π/6 | π | 7π/6 | 5π/4 | 3π/2 | 5π/3 | 7π/4 | 11π/6 | 2π |
记忆法先记 30°/45°/60° 为 π/6、π/4、π/3（分母 = 180 ÷ 度数），其余全部是它们的整数倍。判断象限时，π/2 ≈ 1.57、π ≈ 3.14、3π/2 ≈ 4.71，用小数估算最快。
本节陷阱
Do's and Don'ts
- 扇形角度公式用弧长比直径：θ = ℓ/r，其中 r 是半径不是直径。用直径算出的答案会小一半。
- 度与弧度混用：写 sin 30 与 sin 30° 是完全不同的值；本章后半段一律用弧度，题目给度数时请先转换。
- 计算器未切 RAD 模式：CASIO fx-50FH II 需按 SHIFT → MODE → 2（PROG/RAD 显示「R」）。3.2 节的计算器题型出错几乎都源于此。
- 漏写单位 rad / 漏写 °：HKDSE 会因单位缺失扣分。
练习映射 · Exercise 3A（p.3.6–3.7，共 14 题）
| 难度 | 题号 | 题型 | 要点 |
|---|---|---|---|
| L1 | 1(a)–(d) | 由图求 θ | 直接 θ = ℓ/r，答案多为小数 |
| L1 | 2–4 | 度 → 弧度 | 含 36°、97.5°、237.5° 等非特殊角，考「约分」 |
| L1 | 5–6 | 弧度 → 度 | π 型答案精确值；小数型取 3 sig. fig. |
| L1 | 7–8 | 先换算再求函数值 | 例：π/6 rad = 30° ⇒ tan 30° = √3/3 |
| L2 | 9–10 | 平角拆分 / 多角拼合 | 直线 MON、POQ 补角 ⇒ 角度相加为 π |
| L2 | 11–13 | 正多边形内／外角 | 内角和 π(n−2)，外角 2π/n |
| L3 | 14 | 内心 (in-centre) 题 | AM、BM、CM 为三条角平分线 ⇒ α、β、γ 各为相应内角之半 ⇒ 合计 = (A+B+C)/2 = π/2 |
补充结论正 n 边形：内角 = (n−2)πn，外角 = 2πn。正三角形内角 π/3 外角 2π/3；正五边形内角 3π/5 外角 2π/5。三角形内角比 1:3:5 ⇒ 最大角 = 59 × π = 5π9。
3.2
六个三角函数 The Six Trigonometric Functions
pp. 3.8 – 3.20 ｜ Exercise 3B本节定位
把函数族从 3 个扩到 6 个：新增 cosec（餘割）、sec（正割）、cot（餘切），它们分别是 sin、cos、tan 的倒数。这三个函数不是「多背三个公式」而已——它们是复角公式、二倍角公式证明题的常客，也是 DSE 长题变换的主要对象。本节还要解决两件事：象限符号判定（CAST）与含 cosec/sec/cot 的三角方程。
A · 定义（任意角的六个比值）
设 P(x, y) 为角 θ 终边上任一点，r = OP = √(x2 + y2) > 0。
| 函数 | sin θ | cos θ | tan θ | cosec θ | sec θ | cot θ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 定义 | y / r | x / r | y / x | r / y | r / x | x / y |
| 限制 | — | — | x ≠ 0 | y ≠ 0（即 sin θ ≠ 0） | x ≠ 0（即 cos θ ≠ 0） | y ≠ 0（即 sin θ ≠ 0） |
倒数关系（3.3 节将正式命名）
cosec θ = 1sin θ sec θ = 1cos θ cot θ = 1tan θ = cos θsin θ
Do's and Don'ts（教材 p.3.8 明示）
sec θ ≠ 1sin θ cosec θ ≠ 1cos θ
最稳的记法：cosec 是 sin 的倒数，sec 是 cos 的倒数，cot 是 tan 的倒数；其中 sec 与 cos 只差一个首字母（s ↔ c），必须硬记，而 cosec 与 cos 的搭配没有字面线索 —— 「sec = 1/cos」是本卷最高频的低级错误来源。
最稳的记法：cosec 是 sin 的倒数，sec 是 cos 的倒数，cot 是 tan 的倒数；其中 sec 与 cos 只差一个首字母（s ↔ c），必须硬记，而 cosec 与 cos 的搭配没有字面线索 —— 「sec = 1/cos」是本卷最高频的低级错误来源。
术语cosec 也写作 csc（部分教材／计算器）。六个函数统称 trigonometric functions（三角函数）；cosec θ、sec θ、cot θ 分别称为 cosecant / secant / cotangent function。
B · 特殊角的取值（含 undefined）
| θ | 0 | π/2 | π | 3π/2 | 2π |
|---|---|---|---|---|---|
| sin θ | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 |
| cosec θ | 未定义 | 1 | 未定义 | −1 | 未定义 |
| cos θ | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| sec θ | 1 | 未定义 | −1 | 未定义 | 1 |
| tan θ | 0 | 未定义 | 0 | 未定义 | 0 |
| cot θ | 未定义 | 0 | 未定义 | 0 | 未定义 |
一句话记法「分母为零即未定义」。sin π = 0 ⇒ cosec π 未定义；cos(π/2) = 0 ⇒ sec(π/2) 未定义；tan(π/2) 未定义 ⇒ cot(π/2) = 0（这也是唯一「tan 未定义但 cot 有值」的地方，常考）。
C · 符号与 CAST 图
| 象限 | 正值的函数 |
|---|---|
| I | 全部为正（All） |
| II | sin / cosec（Sine） |
| III | tan / cot（Tangent） |
| IV | cos / sec（Cosine） |
本质推导：r > 0 恒成立，符号完全由 x、y 的符号决定：
- sin = y/r、cosec = r/y → 随 y 变号
- cos = x/r、sec = r/x → 随 x 变号
- tan = y/x、cot = x/y → 同号为正、异号为负
进阶记法CAST 图的字母按逆时针从第四象限开始读 C→A→S→T，对应「Cos positive、All positive、Sin positive、Tan positive」。而 3.3 节的「奇变偶不变，符号看象限」中的「符号」就是查这张图。
D · 用计算器求值（含倒数函数）
| 需求 | 按键思路 | 例 |
|---|---|---|
| 求 cosec / sec / cot 的值 | 先取倒数再算：1 ÷ sin、1 ÷ cos、1 ÷ tan | cosec(π/9) = 1 ÷ sin(π/9) ≈ 2.9238 |
| 由函数值求角 | 用 SHIFT sin / cos / tan（反三角函数） | sin θ = 0.8 ⇒ θ ≈ 0.9272 rad |
| 已知 sec θ = 3 求角 | 先化成 cos θ = 1/3 再取 SHIFT cos | θ ≈ 1.2309 rad |
必查计算器屏幕必须显示 R 或 RAD。若显示 D（度），所有弧度题的答案都会错得离谱且无法察觉。
E · 解含 cosec / sec / cot 的三角方程（两步法）
标准流程
Step 1 用倒数关系把方程化回 sin x / cos x / tan x
Step 2 求参考角 a，再按所求区间写出全部满足的 x
参考角（reference angle）：先解 sin a = |k| 之类的锐角 a，再用 CAST 图把 a 投射到正确象限。例如 tan x = −1/√3，a = 30°，tan 在 II、IV 为正？不——tan 在 II、IV 为负，故 x = 180° − 30° = 150° 或 360° − 30° = 330°。
本节例题（拆解 + 答案要点）
例 3由坐标求六个函数值（p.3.9）L1
已知 P(−4, 3) 在 θ 终边上，求六个三角函数值。
r = √((−4)2 + 32) = 5
sin θ = 3/5 cos θ = −4/5 tan θ = −3/4
cosec θ = 5/3 sec θ = −5/4 cot θ = −4/3
套路：三步固定 —— ① 算 r（必为正）；② 直写 sin/cos/tan；③ 逐个取倒数。注意 cot θ = 1/tan θ = x/y = −4/3，与 tan 同号。
例 4由符号判定象限（p.3.13）L1
(a) sec θ < 0 且 cosec θ < 0；(b) cosec θ > 0 且 cot θ < 0。
(a) sec<0 ⇒ II 或 III；cosec<0 ⇒ III 或 IV ⟹ θ 在 第 III 象限
(b) cosec>0 ⇒ I 或 II；cot<0 ⇒ II 或 IV ⟹ θ 在 第 II 象限
套路：每个条件给出「两个候选象限」，取交集。若交集为空 ⇒ 该角不存在（Level 2 会出现这类「无解」判断题）。做题时建议在草稿纸上画出两个条件各自覆盖的扇区。
例 5由一函数值求其余值（唯一象限）（p.3.13）L1
已知 cot θ = −√3，且 π < θ < 2π，不用计算器求 sec θ 与 cosec θ。
cot θ < 0 且 π < θ < 2π ⇒ θ 在第 IV 象限
取 x = √3, y = −1 ⇒ r = √(3 + 1) = 2
sec θ = r/x = 2/√3 = 2√33 cosec θ = r/y = 2/(−1) = −2
为什么可以「自己选 x、y」三角函数只依赖比值，所以在终边上任取一点都成立。选最简单的整数点（√3, −1）比硬算更方便。唯一约束是 x、y 的符号必须符合所在象限、且 r 要算对（r 一定为正）。
例 6同一比值、两个象限 ⇒ 两组答案（p.3.14）L2
已知 sec θ = −5/3，0 ≤ θ ≤ 2π，求 cosec θ 与 cot θ。
sec θ < 0 ⇒ θ 在 II 或 III 象限 ⇒ 必须分两种情况
取 x = −3, r = 5 ⇒ y2 = 25 − 9 = 16 ⇒ y = ±4
QII（y = 4）：cosec θ = 5/4，cot θ = −3/4
QIII（y = −4）：cosec θ = −5/4，cot θ = 3/4
评分点「两组答案」是本节最典型的失分点：题目给的是 0 ≤ θ ≤ 2π 这种「跨象限区间」时，一定要写出两组并分别说明象限；只写一组直接扣一半分。
例 7解方程（度数，含多倍角）（p.3.15）L1
(a) cot x = −√3；(b) sec 2x = √2，其中 0° ≤ x ≤ 360°。
(a) tan x = −1/√3 ⇒ a = 30° ⇒ x = 180° − 30° = 150° 或 360° − 30° = 330°
(b) 令 y = 2x，则 0° ≤ y ≤ 720°；cos y = √2/2 ⇒ y = 45°, 315°, 405°, 675°
⟹ x = 22.5°, 157.5°, 202.5°, 337.5°
套路：遇到 2x、3x 这类多倍角，先整体换元 y = 2x，把区间同步放大（×2），解完 y 再除回。漏掉区间放大 ⇒ 解漏一半。
例 8解方程（弧度，含角的平移）（p.3.16）L2
解 cosec(x + π/3) = 2，0 ≤ x ≤ π。
令 y = x + π/3；由 0 ≤ x ≤ π 得 π/3 ≤ y ≤ 4π/3
cosec y = 2 ⇒ sin y = 1/2 ⇒ y = π/6（舍去，不在区间）或 y = π − π/6 = 5π/6
x + π/3 = 5π/6 ⇒ x = π/2
双重检验（教材 p.3.16 明确提示）解出的 x 必须同时满足：① 落在题目给定区间内；② 代回原方程成立。含平移的题，参考角对应的「另一个解」常常落在区间外，必须显式写出「rejected」。
例 9可化为二次方程（p.3.17）L2
解 3sec2x − 7sec x + 2 = 0，0 ≤ x ≤ 2π。
(sec x − 2)(3 sec x − 1) = 0 ⇒ sec x = 2 或 sec x = 1/3
cos x = 1/2 或 cos x = 3（舍去，因 −1 ≤ cos x ≤ 1）
x = π/3 或 2π − π/3 = 5π/3
套路：整体把 sec x 当作一个字母 t 做因式分解，最后一定回到 cos（或 sin），并用 −1 ≤ cos x ≤ 1 筛掉不可能的根。这一步是 Level 2 的固定采分点。
本节陷阱（高频失分点）
Top 5
- sec θ 与 sin θ 混淆：sec = 1/cos。写错后整题崩。
- 忘记分情况：区间跨两个象限时只写一组答案（见例 6）。
- 没有筛根：cos x = 3、sin x = −2 之类仍继续求解（见例 9）。
- 多倍角区间未放大：2x 时仍用原区间，导致解集不全（见例 7）。
- 忽略未定义点：把区间端点的 π/2、π 等直接代入 sec/cosec，未检查其是否有定义。
练习映射 · Exercise 3B（p.3.18–3.20，共 30 题）
| 难度 | 题号 | 题型 | 对应例题 |
|---|---|---|---|
| L1 | 1–4 | 由坐标点求六个函数值 | 例 3 |
| L1 | 5–6 | 求值（含计算器 3 sig. fig.） | — |
| L1 | 7–10 | 符号判定象限 | 例 4 |
| L1 | 11–13 | 由一值求其余（唯一象限） | 例 5 |
| L1 | 14–15 | 度数／弧度解方程 | 例 7 |
| L2 | 16–24 | 乘积符号、复合条件求值、sec2−tan2 型技巧 | 例 5、6 |
| L2 | 25–27 | 含平移 / 多倍角 / 二次型的方程 | 例 8、9 |
| L3 | 28–30 | 求最大值、周期代入、cos θ + sec θ = k 的代数变形 | — |
Level 3 母题预告第 30 题「cos θ + sec θ = k，证明 cos θ − sec θ = −√(k2 − 4)」是 3.3 节平方恒等式的直接应用：(cos θ − sec θ)2 = (cos θ + sec θ)2 − 4，符号由 θ 所在象限决定。这类「构造对偶式」的思想在后续章节反复出现。
3.3
三角恒等式 Trigonometric Identities
pp. 3.20 – 3.30 ｜ Exercise 3C本节定位
本节是全章的「代数工具箱」：把六函数之间的**恒等关系**系统化，并提供一整套诱导公式（把任意角化简为锐角）。它本身考的不多，但 3.4–3.6 所有证明题的第一步几乎都是「化简」。学不好这一节，后面只能背答案。
A · 三类基本恒等式
① 倒数恒等式
cosec θ = 1sin θ sec θ = 1cos θ cot θ = 1tan θ
② 商数恒等式
tan θ = yx = y/rx/r = sin θcos θ （要求 cos θ ≠ 0）
cot θ = xy = cos θsin θ （要求 sin θ ≠ 0）
③ 平方（毕氏）恒等式
sin2θ + cos2θ = 1 由 r2 = x2 + y2 两边除以 r2
1 + tan2θ = sec2θ 上式两边除以 cos2θ
1 + cot2θ = cosec2θ 上式两边除以 sin2θ
成立条件（教材 p.3.21 标注）1 + tan2θ = sec2θ 只在 tan θ 与 sec θ 均有定义时成立（cos θ ≠ 0）；1 + cot2θ = cosec2θ 只在 sin θ ≠ 0 时成立。证明题中若出现 θ = π/2 之类的点，理论上要排除——DSE 一般不追究，但概念题会考。
B · 诱导公式总表：n·90° ± θ 与 nπ/2 ± θ
教材把结果整理成两张表（p.3.24），这是必须能默写的部分：
| 函数 | −θ | 180°−θ（π−θ） | 180°+θ（π+θ） | 360°−θ（2π−θ） | 360°+θ（2π+θ） |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | −sin θ | sin θ | −sin θ | −sin θ | sin θ |
| cosec | −cosec θ | cosec θ | −cosec θ | −cosec θ | cosec θ |
| cos | cos θ | −cos θ | −cos θ | cos θ | cos θ |
| sec | sec θ | −sec θ | −sec θ | sec θ | sec θ |
| tan | −tan θ | −tan θ | tan θ | −tan θ | tan θ |
| cot | −cot θ | −cot θ | cot θ | −cot θ | cot θ |
| 函数 | 90°−θ（π/2−θ） | 90°+θ（π/2+θ） | 270°−θ（3π/2−θ） | 270°+θ（3π/2+θ） |
|---|---|---|---|---|
| sin | cos θ | cos θ | −cos θ | −cos θ |
| cosec | sec θ | sec θ | −sec θ | −sec θ |
| cos | sin θ | −sin θ | −sin θ | sin θ |
| sec | cosec θ | −cosec θ | −cosec θ | cosec θ |
| tan | cot θ | −cot θ | cot θ | −cot θ |
| cot | tan θ | −tan θ | tan θ | −tan θ |
不需要背 48 条！用两句口诀现推
- 奇变偶不变：π/2 的奇数倍（90°、270°）→ 函数名换成余函数（sin↔cos，tan↔cot，sec↔cosec）；π/2 的偶数倍（180°、360°）→ 函数名不变。
- 符号看象限：把 θ 当成锐角，判断原函数在「原式那个角所在象限」的正负，即为结果符号。
倒数函数怎么办（教材 p.3.24 的 e.g.）先写成倒数再套：cosec(π/2 − θ) = 1 / sin(π/2 − θ) = 1/cos θ = sec θ。另外要牢记「平方后符号一律变正」：cosec2(π + θ) = (−cosec θ)2 = cosec2θ，这是方程题（例 15）的关键一步。
本节例题（拆解 + 答案要点）
例 10化简：全部拆成 sin / cos（p.3.22）L1
化简 cot θ · cosec θ · sec θ
= cos θsin θ · 1sin θ · 1cos θ = 1sin2θ = cosec2θ
万能第一步：所有函数拆成 sin θ 与 cos θ。本章 80% 的化简与证明都从这一步开始，剩下的是约分。cos θ 与 cos θ 对消、sin θ × sin θ 得 sin²θ，一步到位。
例 11用平方恒等式（不用计算器）（p.3.22）L1
已知 cot θ = −4/3，π/2 < θ < π，求 (a) tan θ；(b) sec θ。
(a) tan θ = 1cot θ = 1−4/3 = −34
(b) sec2θ = 1 + tan2θ = 1 + 916 = 2516 ⇒ sec θ = ±54
θ 在第 II 象限 ⇒ cos θ < 0 ⇒ sec θ < 0 ⇒ sec θ = −5/4
套路：与「求值」类题不同，这里不需要求 r，直接用 1 + tan2 = sec2 更快。但开方后必须用象限定号——这是唯一可能错的地方。
例 12证明恒等式：把常数 1 换成 cosec²−cot²（p.3.23）L2
证明 cot θ + cosec θ − 11 − cosec θ + cot θ = cot θ + cosec θ
L.H.S. = cot θ + cosec θ − 11 − cosec θ + cot θ
= cot θ + cosec θ − (cosec2θ − cot2θ)1 − cosec θ + cot θ 用 1 = cosec²θ − cot²θ
= cot θ + cosec θ − (cosec θ + cot θ)(cosec θ − cot θ)1 − cosec θ + cot θ
= (cot θ + cosec θ)[1 − (cosec θ − cot θ)]1 − cosec θ + cot θ = (cot θ + cosec θ)(1 − cosec θ + cot θ)1 − cosec θ + cot θ
= cot θ + cosec θ = R.H.S. ∎
两个核心技巧① 把常数 1 替换成平方差（1 = cosec²θ − cot²θ，或 1 = sec²θ − tan²θ），再因式分解；② 分母 1 − cosec θ + cot θ 与分子中的因式完全一样，所以一定能约掉——这是命题人故意留的「暗号」。
例 13用诱导公式求特殊角的函数值（p.3.25）L1
(a) sec 240°；(b) sin(2π/3)；(c) cot(11π/6)
(a) sec 240° = sec(180° + 60°) = −sec 60° = −1cos 60° = −2
(b) sin 2π3 = sin(π − π3) = sin π3 = √32
(c) cot 11π6 = cot(2π − π6) = −cot π6 = −1tan(π/6) = −√3
标准动作：① 拆成「特殊角 ± 某角」；② 套诱导公式；③ 若结果是倒数函数（sec/cot/cosec），转成 1/cos 等再取特殊值表。
例 14多步化简：诱导公式 + 平方恒等式（p.3.26）L2
化简 1 − cosec(3π/2 − θ) · sec(π − θ)[1 − cosec(−θ)] [cosec(π + θ) + 1]
cosec(3π/2 − θ) = −sec θ sec(π − θ) = −sec θ cosec(−θ) = −cosec θ cosec(π + θ) = −cosec θ
原式 = 1 − (−sec θ)(−sec θ)(1 + cosec θ)(−cosec θ + 1) = 1 − sec2θ1 − cosec2θ
= −tan2θ−cot2θ = tan2θ1/tan2θ = tan4θ
易错第一步把四个角全部化简时，负号最容易错：sec(π − θ) = −sec θ（不是 +sec θ）。建议每个角单独写一行，最后统一代入，不要心算。
例 15先证明再解方程（p.3.26–27）L2
(a) 证明 cosec2(θ − π)[1 + sin(3π/2 + θ)] = 11 + cos θ；(b) 解该式 = 2/3（0 ≤ θ ≤ 2π）。
cosec2(θ − π) = cosec2[2π + (θ − π)] = cosec2(π + θ) = (−cosec θ)2 = cosec2θ
sin(3π/2 + θ) = −cos θ
L.H.S. = cosec2θ (1 − cos θ) = 1 − cos θsin2θ = 1 − cos θ1 − cos2θ = 11 + cos θ = R.H.S.
(b) 11 + cos θ = 23 ⇒ 3 = 2 + 2cos θ ⇒ cos θ = 12 ⇒ θ = π/3 或 5π/3
「先证明后求解」题型是 DSE 的标志性结构（本册 9 套真题中 6 套如此）。(a) 问的结论就是 (b) 问的超强提示：(b) 必须直接使用 (a) 的等式，否则既浪费时间又拿不到过程分。
本节陷阱
Do's and Don'ts
- 只背 sin/cos/tan 的诱导公式：sec、cosec、cot 的诱导公式要会用「先取倒数」现场推，直接背表极易记反。
- 平方后仍带负号：cosec2(π + θ) 是正的，写成 −cosec²θ 全题作废。
- 证明时两边同时变形：规范写法是 L.H.S. → R.H.S.，中间禁止出现「= 原式」的循环论证。
- 通分漏项：三项以上的分式加减，先找公分母再动笔，不要跳步。
- 把常数 1 当死数：遇到「有 1 又有 cosec/cot」的结构，先试把 1 换成 cosec2θ − cot2θ（例 12 的核心）。
练习映射 · Exercise 3C（p.3.28–3.30，共 30 题）
| 难度 | 题号 | 题型 | 对应例题 |
|---|---|---|---|
| L1 | 1–6 | 化简（乘除组合） | 例 10 |
| L1 | 7–8 | 由一值求其余（用平方恒等式） | 例 11 |
| L1 | 12 | 求特殊角函数值 | 例 13 |
| L2 | 16–17 | 证明恒等式（通分型） | 例 12 |
| L2 | 22–23 | 化简（诱导公式多重嵌套） | 例 14 |
| L2 | 24–27 | 先证明、再解方程 | 例 15 |
| L3 | 29–30 | tan2/sec/cot 复合结构、绝对值与极值 | — |
3.4
复角公式 Compound Angle Formulae
pp. 3.31 – 3.39 ｜ Exercise 3D本节定位
全章的心脏。它回答一个初中一直默认却没证明的问题：sin(A + B) 究竟等于什么？六条公式（sin、cos、tan 各两条）后续被 3.5、3.6 反复调用，也是 DSE M2 长题最高频的起点。本节 9 页、5 个例题、Exercise 3D 32 题，投入产出比最高。
A · 六条复角公式（必背）
(1) (2) 正弦
sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B
(3) (4) 余弦
cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B
cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B
(5) (6) 正切
tan(A + B) = tan A + tan B1 − tan A tan B
tan(A − B) = tan A − tan B1 + tan A tan B
Do's and Don'ts（教材 p.3.31–32 逐条标注）
sin(A + B) ≠ sin A + sin B sin(A − B) ≠ sin A − sin B
cos(A + B) ≠ cos A + cos B cos(A − B) ≠ cos A − cos B
tan(A + B) ≠ tan A + tan B tan(A − B) ≠ tan A − tan B
这六条「假公式」是本章第一大错误来源。特别注意 cos 的符号是反的（和 → 减，差 → 加），tan 的分母也是反的。口诀：「正弦同号，余弦反号，正切分母再反一次」。
cos(A + B) ≠ cos A + cos B cos(A − B) ≠ cos A − cos B
tan(A + B) ≠ tan A + tan B tan(A − B) ≠ tan A − tan B
这六条「假公式」是本章第一大错误来源。特别注意 cos 的符号是反的（和 → 减，差 → 加），tan 的分母也是反的。口诀：「正弦同号，余弦反号，正切分母再反一次」。
B · 推导链（理解后就不必硬背）
起点 Class Activity 3.1：用三角形面积 12ab sin θ 的剖分相等验证 sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B（仅对锐角 A、B）
第 1 步 B → −B：（1）⇒ 公式 (2)（用 cos(−B) = cos B、sin(−B) = −sin B）
第 2 步 A → π/2 − A：（2）⇒ 公式 (3)（用 sin(π/2 − A) = cos A、cos(π/2 − A) = sin A）
第 3 步 B → −B：（3）⇒ 公式 (4)
第 4 步 tan = sin/cos，分子分母同除 cos A cos B：（1）(3) ⇒ 公式 (5)
第 5 步 B → −B：（5）⇒ 公式 (6)
为什么第 2 步可行因为公式 (1)(2) 对任意角成立（教材特别说明），所以可以把 A 换成任何表达式，包括 π/2 − A。这种「用已知公式生成新公式」的手法在 3.5 会再次出现（令 B = A 得二倍角）。
本节例题（拆解 + 答案要点）
例 16不用计算器求特殊角（p.3.33）L1
(a) sin 15°；(b) cos(7π/12)
(a) sin 15° = sin(45° − 30°) = sin 45°cos 30° − cos 45°sin 30° = √22·√32 − √22·12 = √6 − √24
另解：sin 15° = sin(60° − 45°)，答案相同（可作为自我检查）
(b) cos 7π12 = cos(π4 + π3) = cosπ4cosπ3 − sinπ4sinπ3 = √2 − √64
另解：cos7π12 = cos(π2 + π12) = −sinπ12 = −sin 15°（用诱导公式 + (a) 的结果）
拆角原则：把非特殊角拆成两个特殊角的和或差。15° = 45°−30° = 60°−45°；7π/12 = 105° = 45°+60° = 90°+15°。优先选含 30°/45°/60° 的拆法，算式最短。
例 17由 tan(A+B) 反求 tan A（p.3.34）L1
已知 tan(A + B) = 5/14、tan B = −1/4，求 tan A。
解法一（解方程） 514 = tan A + (−1/4)1 − tan A·(−1/4) ⇒ 5 + 54tan A = 14 tan A − 72 ⇒ 514tan A = 172 ⇒ tan A = 2/3
解法二（拆角） tan A = tan[(A + B) − B] = tan(A+B) − tan B1 + tan(A+B)tan B = 5/14 + 1/41 − 5/56 = 2/3
解法二更快且更安全：把要求的角写成「已知角 − 已知角」，直接套公式，避免解一次方程。这类「配凑角」的技巧（如 A = (A+B) − B）在 DSE 长题里非常常见。
例 18通分化简成 cosec/sec（p.3.34）L2
化简 sin(A + B)sin A sin B − cos(A + B)sin A cos B
= sin(A + B)cos B − cos(A + B)sin Bsin A sin B cos B 通分，公分母 sin A sin B cos B
= sin[(A + B) − B]sin A sin B cos B = sin Asin A sin B cos B = 1sin B cos B = cosec B sec B
识别信号分子出现「sin X cos Y − cos X sin Y」这种交叉结构时，一定是 sin(X − Y) 的展开（此处 X = A+B，Y = B）。看到「sin·cos ± cos·sin」就想 sin 公式，看到「cos·cos ∓ sin·sin」就想 cos 公式。
例 19cot(α−β) 的公式 + 数值代入（p.3.35）L2
(a) 证明 cot(α − β) = 1 + cot α cot βcot β − cot α；(b) 据此求 cot(π/12) + 1cot(π/12) − 1 的值。
(a) L.H.S. = 1tan(α − β) = 1 + tan α tan βtan α − tan β = cot α cot β + 1cot β − cot α 分子分母同乘 cot α cot β
(b) 取 α = π/4（cot α = 1）、β = π/12 ⇒ α − β = π/6
cot π6 = √3 = cot(π/12) + 1cot(π/12) − 1 ⇒ 所求值 = √3
「先证后用」的结构(a) 建立了一个新公式，(b) 要求在给定的数中找到「谁是 α、谁是 β」——这需要把 (cot X + 1)/(cot X − 1) 与 (cot α cot β + 1)/(cot β − cot α) 逐项比对，识别出 cot β = cot(π/12)、cot α = 1 即 α = π/4。
例 20条件恒等式 + 方程（DSE 风格）（p.3.36）L2 ★ 公开试题衍生
(a) 若 3 tan A = tan B，证明 sin(A + B) = 2 sin(B − A)；(b) 据此解 3 tan(x + π/2) = tan(x + π/3)，0 ≤ x ≤ π/2。
(a) 3 tan A = tan B ⇒ 3 sin Acos A = sin Bcos B ⇒ 3 sin A cos B = cos A sin B
L.H.S. = sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B = sin A cos B + 3 sin A cos B = 4 sin A cos B
R.H.S. = 2 sin(B − A) = 2(sin B cos A − cos B sin A) = 2(3 sin A cos B) − 2 sin A cos B = 4 sin A cos B = L.H.S.
(b) 取 A = x + π/2、B = x + π/3，则 A + B = 2x + 5π/6，B − A = −π/6
⇒ sin(2x + 5π/6) = 2 sin(−π/6) = −1
0 ≤ x ≤ π/2 ⇒ 5π/6 ≤ 2x + 5π/6 ≤ 11π/6 ⇒ 仅 3π/2 落在区间内
⇒ 2x + 5π/6 = 3π/2 ⇒ x = π/3
三个易错处① (a) 中必须从「条件」出发把 tan 化为 sin/cos 并交叉相乘；② (b) 中 B − A = (x + π/3) − (x + π/2) = −π/6，符号不能写反；③ 换元后区间要跟着变（此处 2x + 5π/6 的范围），并显式舍去落在区间外的解。
本节陷阱
Do's and Don'ts
- 把 cos(A−B) 写成 cos A cos B − sin A sin B：差角的余弦是加号。这是整章最常考的「记忆反转」。
- tan(A±B) 分母符号反：加号配减、减号配加。
- sin 2A 写成 sin(A+A) 后算成 2 sin A：必须走公式。
- 拆角时拆错：如 cos 75° = cos(45°+30°)，不是 cos(45°) + cos(30°)。
- 忘记复合函数的倒数形式：遇 cosec(A+B)、cot(A+B)，先转成 1/sin、1/tan（教材 p.3.35 明确要求）。
练习映射 · Exercise 3D（p.3.37–3.39，共 32 题）
| 难度 | 题号 | 题型 | 对应例题 |
|---|---|---|---|
| L1 | 1–3 | 不用计算器求值（cos 105°、sin 165°、tan 15° 等） | 例 16 |
| L1 | 4–5 | 化简（形如 sin A cos 2A + cos A sin 2A） | 例 18 |
| L1 | 6–9 | 求值（拆成两个角的差） | 例 16 |
| L1 | 17–18 | 配凑角求值（tan A、cot B） | 例 17 |
| L2 | 19–21 | 化简 + cot(α±β) 的公式应用 | 例 18、19 |
| L2 | 22–24 | 证明恒等式（含 A+B+C = 180° 的三角形条件） | 例 20 |
| L2 | 26–28 | 条件恒等式 + 解方程（公开试题型） | 例 20 |
| L3 | 30–32 | 极值、求值域、复杂恒等式 | — |
第 24 题值得单练A + B + C = 180° ⇒ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C。证明思路：C = 180° − (A+B) ⇒ tan C = −tan(A+B)，代入 tan(A+B) 公式通分即得。结论本身是「三角形三内角正切之和 = 三正切之积」，DSE 反复考。
3.5
二倍角公式 Double Angle Formulae
pp. 3.40 – 3.47 ｜ Exercise 3E本节定位
3.4 的「免费附赠品」：在复角公式中令 B = A，立刻得到 sin 2A、cos 2A、tan 2A。它的真正价值有两块：① 降幂/升角（cos2A = (1 + cos 2A)/2，把平方变成一次方，是微积分求积分的必备变形）；② 三倍角与三次方程（cos 3θ 与 4x3 − 3x 的对应，DSE 2016/2012 都考过）。
A · 三条二倍角公式
来自 Class Activity 3.2（用 3.4 公式令 B = A）
sin 2A = 2 sin A cos A
cos 2A = cos2A − sin2A = 2cos2A − 1 = 1 − 2sin2A 三种形式必须都熟
tan 2A = 2 tan A1 − tan2A
降幂（半角）公式 —— 由 cos 2A 的另两种形式反解
sin2A = 1 − cos 2A2 cos2A = 1 + cos 2A2
写成半角形式即：sin2(θ/2) = 1 − cos θ2，cos2(θ/2) = 1 + cos θ2
三个 cos 2A 怎么选看到算式里还剩 cos A（如例 21 分母有 cos A）就用 2cos2A − 1；还剩 sin A 就用 1 − 2sin2A；两个都有就用原始的 cos2A − sin2A。目标是让式子的函数种类统一。
B · 三倍角公式（教材例 24 的重点延伸）
由 tan(2x + x) / cos(2x + x) / sin(2x + x) 推出
tan 3x = 3 tan x − tan3x1 − 3tan2x （要求 tan2x ≠ 1/3）
cos 3x = 4 cos3x − 3 cos x Exercise 3E 常见
sin 3x = 3 sin x − 4 sin3x DSE 2017 / 2012 直接用到
为什么 DSE 爱考三倍角因为 cos 3θ = 4cos3θ − 3cos θ 把「三角」与「三次方程」连了起来：给定 cos 3θ = k，就等价于求 4x3 − 3x = k 的根，于是可由「已知一根」配合因式定理求其余根（HKDSE 2016 Q6 正是如此）。
本节例题（拆解 + 答案要点）
例 21化简（p.3.41）L1
化简 1 − cos 2θsin 2θ
= (1 − (1 − 2sin2θ))2 sin θ cos θ = 2 sin2θ2 sin θ cos θ = sin θcos θ = tan θ
经典结论：(1 − cos 2θ)/sin 2θ = tan θ、(1 + cos 2θ)/sin 2θ = cot θ，两个都在 Exercise 3E / 3F 与真题中反复出现，直接记住可省时间。
例 22用二倍角反求 tan 15°（p.3.41）L1
用二倍角公式求 tan(π/12)。
tan π6 = tan(2 × π12) ⇒ 1√3 = 2 tan(π/12)1 − tan2(π/12)
⇒ 1 − tan2(π/12) = 2√3 tan(π/12) ⇒ tan2(π/12) + 2√3 tan(π/12) − 1 = 0
⇒ tan(π/12) = −2√3 ± √(12 + 4)2 = −√3 ± 2
π/12 在第 I 象限 ⇒ tan 为正 ⇒ tan(π/12) = 2 − √3
二次公式 + 象限定号是标准两步骤。另一根 −√3 − 2 为负值，直接舍去。检验：tan 15° ≈ 0.2679，2 − √3 ≈ 0.2679 ✔
例 23降幂证明 + 解四次方程（p.3.42）L2 ★ 公开试题
(a) 证明 8cos4θ = 3 + 4cos 2θ + cos 4θ；(b) 解 4cos 2θ + cos 4θ = −1，0 ≤ θ ≤ π。
(a) R.H.S. = 3 + 4cos 2θ + (2cos22θ − 1) = 2 + 4cos 2θ + 2cos22θ
= 2(1 + cos 2θ)2 = 2(2cos2θ)2 = 8cos4θ = L.H.S.
(b) 由 (a)：3 + 4cos 2θ + cos 4θ = −1 + 3 ⇒ 8cos4θ = 2 ⇒ cos4θ = 1/4
⇒ cos2θ = 1/2（−1/2 舍去）⇒ cos θ = ±1√2
0 ≤ θ ≤ π ⇒ θ = π/4 或 3π/4
(a) 的证法方向：从 R.H.S.（含 4θ）往 L.H.S.（含 4 次方）走是「降角升幂」，比反过来容易得多。经验法则：从「角更大、次数更低」的那一边开始化简。
例 24tan 3x 与乘积恒等式（p.3.43–44）L2 ★ 公开试题
(a) 已知 tan2x ≠ 1/3，证明 (i) tan 3x = 3tan x − tan3x1 − 3tan2x，(ii) tan x · tan(π/3 − x) · tan(π/3 + x) = tan 3x；(b) 据此证明 tan(5π/18)·tan(π/3)·tan(7π/18) = tan(4π/9)。
(a)(i) tan 3x = tan(2x + x) = tan 2x + tan x1 − tan 2x tan x，把 tan 2x = 2t1 − t2 代入并通分（t = tan x）得 3t − t31 − 3t2
(a)(ii) tan(π/3 ± x) = √3 ± t1 ∓ √3t ⇒ 两式相乘 = 3 − t21 − 3t2；再乘 t 得 3t − t31 − 3t2 = tan 3x
(b) 取 x = π/18（= 10°）：tan(π/18)tan(5π/18)tan(7π/18) = tan(π/6)
两边同除 tan(π/18) 并用 tan(π/18)tan(π/3) = 1/√3 等关系，即得 tan(5π/18)tan(π/3)tan(7π/18) = tan(4π/9)
(b) 的思路：观察到 5π/18 + 7π/18 = 12π/18 = 2π/3、π/18 + π/6 = 2π/9，于是猜出应代 x = π/18。这类「猜一个特殊角」的题目必须先看数字关系（两角之和 / 差是否为特殊角），再动笔。
本节陷阱
Do's and Don'ts
- sin 2A ≠ 2 sin A；cos 2A ≠ 2 cos A。唯一「可以提 2」的是 sin 2A = 2 sin A cos A。
- 降幂公式记反：sin2A 配 减（1 − cos 2A），cos2A 配 加（1 + cos 2A）。
- 开方丢负根：由 cos2θ = 1/2 得 cos θ = ±1/√2，再按区间取舍（例 23）。
- tan 2A 只对 tan A 有定义处成立，且分母 1 − tan2A ≠ 0。
- 把 4θ 直接当 4×θ 展开：cos 4θ 要用两次二倍角（cos 4θ = 2cos22θ − 1）。
练习映射 · Exercise 3E（p.3.45–3.47，共 27 题）
| 难度 | 题号 | 题型 | 对应例题 |
|---|---|---|---|
| L1 | 1–3 | 给 cos x / sin x / tan θ 求 2θ、4θ 的函数值 | 例 22 |
| L1 | 4–5 | 化简（含 (sin θ + cos θ)2、1/(1+tan θ) 型） | 例 21 |
| L1 | 6–9 | 证明恒等式 + 代入求值（含 15°、22.5°、67.5°） | 例 21、22 |
| L1 | 10–13 | 由 cos u = f(π/7)、tan v = f(2π/9) 反求 u、v | 例 22 |
| L2 | 14–19 | 证明恒等式（含 tan 2A、cot 2A 混合） | 例 23 |
| L2 | 20–22 | 降幂证明 + 解方程 | 例 23 |
| L3 | 26–27 | tan 2x = 2/(sec2x − tan2x) 型连锁恒等式；极值 | 例 24 |
3.6
和积公式 Sum and Product Formulae
pp. 3.47 – 3.57 ｜ Exercise 3F本节定位
把 3.4 的六条公式「加减」一下，就得到两组互逆公式：积化和差（乘 → 加）与和差化积（加 → 乘）。它们解决的是「次数太高」或「项数太多」的问题，是 DSE M2 长题（6–8 分）的标配工具。本节还引入一个跨主题难点：与数学归纳法联手的求和恒等式（例 31、Exercise 3F 第 30–31 题、HKDSE 2015 Q8）。
A · 积化和差公式（Product-to-sum）
来源（Class Activity 3.3）：把 sin(A+B) 与 sin(A−B) 两式相加、相减。
三条主公式
2 sin A cos B = sin(A + B) + sin(A − B)
2 cos A cos B = cos(A + B) + cos(A − B)
2 sin A sin B = cos(A − B) − cos(A + B)
第 4 条不是新的（教材 p.3.48 特别说明）：2 cos A sin B = sin(A + B) − sin(A − B) 与第一条等价（只是交换了 A、B 的写法）。因此只需背 3 条，遇到 cos A sin B 把两条「对调」即可。第 3 条最易错：右边是 cos(A−B) − cos(A+B)，减号且在后面（因为 cos 是偶函数、和角在余弦里变号）。
记忆口诀「正余相加、余余相加、正正相减且反序」；且左边是 2 倍乘积，右边是两个同名函数之和/差。
B · 和差化积公式（Sum-to-product）
来源：把积化和差反过来用。令 x + y = A、x − y = B，则 x = (A+B)/2、y = (A−B)/2。
四条
sin A + sin B = 2 sinA + B2 cosA − B2
sin A − sin B = 2 cosA + B2 sinA − B2
cos A + cos B = 2 cosA + B2 cosA − B2
cos A − cos B = −2 sinA + B2 sinA − B2 注意前置负号！
四条公式的差异只有一个格子
- 「和」+ sin → sin · cos（顺序不变）
- 「差」+ sin → cos · sin（顺序互换）
- 「和」+ cos → cos · cos
- 「差」+ cos → −sin · sin（唯一带负号的一条）
本节例题（拆解 + 答案要点）
例 25积 → 和（p.3.48）L1
(a) 2 sin 3θ cos 6θ；(b) cos 4θ cos θ；(c) sin 7θ sin 2θ
(a) = sin(9θ) + sin(−3θ) = sin 9θ − sin 3θ sin 是奇函数，负号前移
(b) = 12[cos(5θ) + cos(3θ)] 左边没有 2 就先「提取 2」
(c) = 12[cos 5θ − cos 9θ]
两个动作：① 左边系数不是 2 时，先写成 12 × 2·(乘积)；② sin(−x) = −sin x 把负号拿出来。
例 26不用计算器求值（p.3.49）L1
求 4 sin 52.5° sin 97.5°。
= 2 · 2 sin 52.5° sin 97.5° = 2[cos(52.5° − 97.5°) − cos(52.5° + 97.5°)]
= 2[cos(−45°) − cos 150°] = 2[cos 45° + cos 30°] = 2( √22 + √32 ) = √2 + √3
为什么能「不用计算器」52.5° 与 97.5° 的半和 = 75°、半差 = −22.5°，都不是特殊角；但差与和分别是 45° 与 150°，全是特殊角。这正是和差化积/积化和差的用途：把不好算的乘积变成好算的和差。判断用哪条：看 A±B 是否为特殊角的整数倍。
例 27和 → 积证明恒等式（p.3.49）L2
证明 cos(x + π/4) cos(x − π/4) = 12cos 2x
L.H.S. = 12[cos((x + π/4) + (x − π/4)) + cos((x + π/4) − (x − π/4))]
= 12[cos 2x + cos(π/2)] = 12cos 2x = R.H.S. ∎
信号识别：乘积形式的两项若含同一个未知量 x 并配以常数角，用积化和差后常数角会互相抵消，只剩 2x —— 这类恒等式几乎都这么证。
例 28和 → 积（p.3.50）L1
(a) sin θ + sin 3θ；(b) cos 5y + cos 2y
(a) = 2 sin4θ2 cos−2θ2 = 2 sin 2θ cos(−θ) = 2 sin 2θ cos θ
(b) = 2 cos7y2 cos3y2 = 2 cos(7y/2) cos(3y/2)
提示cos 是偶函数，cos(−θ) = cos θ，负号可以直接去掉；sin 是奇函数则不能。这在小问的「最终答案形式」里会被检查。
例 29和 → 积化简分式（p.3.51）L2
(a) 证明 cos 3x − cos 2xsin 3x − sin 2x = −tan5x2；(b) 证明 sin θ + sin 3θ + sin 5θcos θ + cos 3θ + cos 5θ = tan 3θ
(a) 分子 = −2 sin3x + 2x2 sin3x − 2x2 = −2 sin5x2 sinx2 cos A − cos B 带负号
分母 = 2 cos5x2 sinx2 ⇒ 原式 = −sin(5x/2)cos(5x/2) = −tan(5x/2)
(b) 分组：首尾合并 —— (sin 5θ + sin θ) + sin 3θ 与 (cos 5θ + cos θ) + cos 3θ
分子 = 2 sin 3θ cos 2θ + sin 3θ = sin 3θ(2cos 2θ + 1)
分母 = 2 cos 3θ cos 2θ + cos 3θ = cos 3θ(2cos 2θ + 1)
⇒ 约去公因式 (2cos 2θ + 1)，得 tan 3θ = R.H.S. ∎
(b) 为什么必须「首尾合并」θ 与 5θ 的平均值恰好是 3θ，与中间项同频 ⇒ 合并后出现公因式 sin 3θ（或 cos 3θ），再与剩下的 2cos 2θ + 1 一起被约掉。若把 θ 与 3θ 合并，平均值是 2θ，与 5θ 不同频，式子只会越来越乱。口诀：三项式一律合并首尾两项。
例 30三项式 → 因式 → 解方程（p.3.52）L2 ★ 公开试题
(a) 证明 sin θ − sin 2θ + sin 3θ = sin 2θ(2cos θ − 1)；(b) 解该式 = 0，0 < θ < π。
(a) L.H.S. = (sin 3θ + sin θ) − sin 2θ = 2 sin 2θ cos θ − sin 2θ = sin 2θ(2cos θ − 1) = R.H.S.
(b) sin 2θ = 0 或 2cos θ − 1 = 0
0 < θ < π ⇒ 0 < 2θ < 2π ⇒ 2θ = π ⇒ θ = π/2；或 cos θ = 1/2 ⇒ θ = π/3
「三项选两项合并」原则：sin θ − sin 2θ + sin 3θ 中，θ 与 3θ 的平均值是 2θ，与中间项同频，所以把 θ 与 3θ 结合。合并后出现公因式 sin 2θ，一提取就完成因式分解。永远选「首尾两项」合并，这是通法。
例 31数学归纳法 + 求和恒等式（p.3.52–53）L2 ★ 公开试题
(a) 用数学归纳法证明 sin x + sin 2x + … + sin nx = sin(nx/2) sin((n+1)x/2)sin(x/2)（对所有正整数 n）；(b) 据此求 Σk=114 sin(kπ/28) 的值。
归纳法五步（教材 p.3.52 右侧「Performing Proofs by Mathematical Induction」）
① 定义命题 P(n) ② 证明 P(1) 成立 ③ 假设 P(m) 成立（m 为正整数）
④ 在假设下证明 P(m+1) 成立：把「多加的那一项」与假设式相加，再用和积公式合并
⑤ 由数学归纳法原理，P(n) 对所有正整数 n 成立
第 ④ 步的关键代数
sin(mx/2)sin((m+1)x/2)sin(x/2) + sin(m+1)x
= sin(mx/2)sin((m+1)x/2) + sin(m+1)x sin(x/2)sin(x/2)
= (1/2)[cos(x/2) − cos((2m+1)x/2)] + (1/2)[cos((2m+1)x/2) − cos((2m+3)x/2)]sin(x/2)（积化和差）
= sin((m+1)x/2) sin((m+2)x/2)sin(x/2) ✔ 目标形式
(b) 的取角：令 x = π/28、n = 14，则 nx/2 = π/4、(n+1)x/2 = 15π/56，代入公式约化即得答案（教材 p.3.53 的收尾）。这类题的采分点不在 (b)，而在 (a) 的第 ④ 步是否写出「积化和差」这一步。
本节陷阱
Do's and Don'ts
- cos A − cos B 的负号丢了：这是本节第一大失分点（教材 p.3.51 甚至专门画了「Do not miss out the sign '−'」）。
- sin(A−B) 的展开与积化和差混用：两者结构相似但含义不同，先明确你要「拆开」还是「合并」。
- 系数 2 的处理：积化和差左边系数必须为 2；不是就补 1/2。
- 合并不完全就下结论：三项式合并后要能「提取公因式」，若提不出来说明合并对象选错了（该选首尾）。
- 归纳法第 ④ 步只写「由假设可得」而不做代数运算——过程分全丢。
练习映射 · Exercise 3F（p.3.55–3.57，共 34 题）
| 难度 | 题号 | 题型 | 对应例题 |
|---|---|---|---|
| L1 | 1–2 | 积 → 和/差 | 例 25 |
| L1 | 3–4 | 和/差 → 积 | 例 28 |
| L1 | 5–6 | 不用计算器求值（含 cos 20°cos 40°cos 80°） | 例 26 |
| L1 | 7–13 | 证明恒等式（积化和差 + 半角） | 例 27 |
| L1 | 14–15 | 先证后解（含 sin(x−π/6) + sin(x+π/6) 型） | 例 30 |
| L2 | 18–20 | 分式型和积化简 | 例 29 |
| L2 | 21 | 乘积恒等式 | 例 27 |
| L2 | 24–25 | 三项式因式 + 解方程 | 例 30 |
| L2 | 29 | 三角形内角恒等式（A+B+C = π） | — |
| L2 | 30–32 | 数学归纳法证明求和公式；交错符号求和 | 例 31 |
| L3 | 33–34 | 极值、值域与综合证明 | — |
必记住的两个「金句恒等式」（真题高频）
sin A + sin B + sin C = 4 cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)（A+B+C = π 时，即三角形的正弦和）
sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C（同上条件，Exercise 3F 第 29 题）
②
公式总表（考前 10 分钟版）
对应 Chapter Summary pp. 3.58–3.59下面六张卡片合起来就是教材 Chapter Summary 的完整内容——打印这一节即可上考场。每张卡片后标注了「本章哪一节的例题会用到」，方便回查。
1 · 弧度制
θ = ℓ / r（rad）
180° = π rad
1° = π/180 ≈ 0.0175 rad
1 rad = 180°/π ≈ 57.3°
用于：例 1、例 2、Exercise 3A 全部
2 · 六个三角函数（任意角 θ，P(x, y)，r = √(x²+y²)）
sin θ = y/r cosec θ = r/y
cos θ = x/r sec θ = r/x
tan θ = y/x cot θ = x/y
用于：例 3、例 5、例 6、Exercise 3B 1–13
3 · 三类恒等式
cosec θ = 1/sin θ sec θ = 1/cos θ cot θ = 1/tan θ
tan θ = sin θ / cos θ cot θ = cos θ / sin θ
sin²θ + cos²θ = 1
1 + tan²θ = sec²θ
1 + cot²θ = cosec²θ
用于：例 10–15、Exercise 3C 全部
4 · 复角公式
sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
tan(A + B) = (tan A + tan B)/(1 − tan A tan B)
tan(A − B) = (tan A − tan B)/(1 + tan A tan B)
用于：例 16–20、Exercise 3D 全部
5 · 二倍角公式
sin 2A = 2 sin A cos A
cos 2A = cos²A − sin²A = 2cos²A − 1 = 1 − 2sin²A
tan 2A = 2 tan A / (1 − tan²A)
sin²A = (1 − cos 2A)/2 cos²A = (1 + cos 2A)/2
用于：例 21–24、Exercise 3E 全部
6 · 和积公式
积化和差
2 sin A cos B = sin(A+B) + sin(A−B)
2 cos A cos B = cos(A+B) + cos(A−B)
2 sin A sin B = cos(A−B) − cos(A+B)
和差化积
sin A ± sin B = 2 sin((A±B)/2) cos((A∓B)/2)
cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A−B)/2)
cos A − cos B = −2 sin((A+B)/2) sin((A−B)/2)
用于：例 25–31、Exercise 3F 全部
「默写自检」标准能在 8 分钟内、不看书画出上面 6 张卡片（含诱导公式两大表），说明公式层已过关；否则考前任何题型练习都是在「边查表边做题」，效率极低。
③
六大解题套路（逐条可操作）
从 31 个例题中提炼本章的题目看似花样多，实质上只有六类动作。把下面的「触发信号 → 标准动作」练成条件反射，速度与准确率会同时上升。
套路 1给点求值 / 给值求值基础
触发信号：题目给出 P(x, y) 坐标，或给一个三角函数值 + 象限/区间。
- 若给坐标：算 r = √(x2+y2)（必正）→ 直写六个比值。
- 若给一个值：先判象限（区间 + 该值的符号，取交集）。
- 自设最简单的整数点 (x, y) 符合该象限的符号，再算 r。
- 若要的是倒数函数，直接取倒数或直接写 r/y、r/x。
- 若区间跨两个象限 ⇒ 必须写两组答案（例 6）。
不要用计算器反三角函数——题目要求「without using a calculator」时，用精确值（如 2/3、√3）作答；用计算器不仅错，还会因小数近似被判错。
套路 2化简（Expression → 单一函数）基础
触发信号：「Simplify …」，出现 cot / sec / cosec 混合。
- 全部拆成 sin θ 与 cos θ（万能第一步，例 10）。
- 约分、通分；看到 1 与三角函数的组合，考虑替换成平方差（例 12）。
- 结果若含 1/sin2 型，回写为 cosec²θ 等（题目通常要求「用单一函数表示」）。
- 若出现「sin·cos ± cos·sin」结构，直接认出是 sin(A±B)（例 18）。
套路 3证明恒等式（L.H.S. → R.H.S.）核心
触发信号：「Prove that …」。
- 只动一边（通常从较复杂的一边出发），结尾写 R.H.S. 并加 ∎ 或 ∴。
- 方向选择：从「次数高/角大」的一边化向「次数低/角小」的一边（例 23）。
- 常用四招：① 通分；② 全拆 sin/cos；③ 把常数 1 换成平方差；④ 用和积公式把「加」做成「乘」（便于约分）。
- 遇到平方混合（如 sin2/cos2 并存），优先降幂到 2A。
- 证明中出现 θ ± π/2 等，先用诱导公式全部换成 θ 的函数（例 14、15）。
禁招两边同时变形、把待证结论当已知代入、「移项后消掉」——阅卷一律不给分。
套路 4解三角方程（含多倍角 / 平移 / 二次型）核心
触发信号：「Solve … for 0 ≤ x ≤ 2π」。
- 统一：用一个函数表示（必要时用平方恒等式把 sin² 换成 1−cos²）。倒数函数先转成正弦余弦。
- 因式分解（二次型）：整体把函数当作字母 t 分解。
- 筛根：|sin x| ≤ 1、|cos x| ≤ 1，超出的解写「rejected」。
- 换元：遇到 2x、3x 或 x + π/3，令 y = 该整体，区间同步变换，解出 y 后再回代。
- 写全解集：先求参考角，再用 CAST 图找出区间内所有解，按大小排列。
- 回代检验：把 x 代回原式（尤其含平移和多倍角时），确认无增根。
区间端点0 ≤ x ≤ 2π 与 0 ≤ x < 2π 不同：半开区间不含 2π，别把 2π 写进答案。
套路 5「先证明，再解方程」两问式（DSE 主体）高分
触发信号：(a) Prove that … (b) Hence solve …。—— 本册 9 套真题中 6 套是这个结构。
- (a) 的问法往往暗示了「化简方向」：(b) 要解的方程左边通常正是 (a) 要证的左边，所以 (a) 的结论就是 (b) 的第一行。
- (b) 必须显式写「由 (a)」→ 代入 → 转化为较简单的方程（通常退化为 sin 2θ = 0 或 cos θ = 1/2）。
- 若 (b) 是「Hence evaluate …」，把特殊角代入 (a) 的等式即可，不需要重新推导。
- (a) 若要求「prove by mathematical induction」，务必写全五步（例 31），第 ④ 步必须做代数运算。
套路 6配凑角与「猜特殊角」高分
触发信号：要求 tan A 而已知 tan(A+B)；要证 tan(5π/18)·tan(π/3)·tan(7π/18) 之类「长得不像」的等式。
- 配凑角：A = (A+B) − B、A = (A−B) + B（例 17）。
- 猜特殊角：看题目中常数的和差是否等于特殊角（例 24 中 5π/18 + 7π/18 = 2π/3），再决定代哪个 x。
- 比对系数：把待求式与已证式逐项比对，找出「谁是 α 谁是 β」（例 19）。
常见特殊角关系π/12 = π/3 − π/4、5π/12 = π/4 + π/6、π/8 · π/12 等；以及 π/18, 5π/18, 7π/18 三兄弟（来自 tan 3x 题）。
④
易错 & 陷阱清单（按杀伤力排序）
含教材 Do's and Don'ts 全部条目| 陷阱 | 错误写法 | 正确做法 / 出处 |
|---|---|---|
| ① sec 与 sin 混淆 | sec θ = 1/sin θ ✗ | sec θ = 1/cos θ （p.3.8 Do's and Don'ts） |
| ② cos 差角符号 | cos(A−B) = cos A cos B − sin A sin B ✗ | 中间是加号（p.3.32） |
| ③ 「假公式」直接拆 | sin(A+B) = sin A + sin B ✗ | 必须走复角公式（p.3.31 三条 Don'ts） |
| ④ cos A − cos B 丢负号 | cos A − cos B = 2 sin sin ✗ | = −2 sin((A+B)/2) sin((A−B)/2)（p.3.51 专门提示） |
| ⑤ 平方后保留负号 | cosec²(π+θ) = −cosec²θ ✗ | 平方一律为正（p.3.26 例 15） |
| ⑥ 只写一组解 | sec θ = −5/3 ⇒ 只给 QII 答案 ✗ | 区间跨象限必须分情况（p.3.14 例 6） |
| ⑦ 不筛根 | cos x = 3 继续求解 ✗ | |cos x| ≤ 1，写 rejected（p.3.17 例 9） |
| ⑧ 多倍角区间未放大 | sec 2x = √2，仍用 0°≤x≤360° 解 ✗ | 令 y=2x ⇒ 0°≤y≤720°（p.3.15 例 7） |
| ⑨ 计算器未切 RAD | 答案差 57.3 倍 | 屏幕须显示 R / RAD（p.3.11） |
| ⑩ 降幂公式记反 | sin²A = (1 + cos 2A)/2 ✗ | sin² 配减、cos² 配加（p.3.40） |
| ⑪ 开方丢负根 | cos²θ = 1/2 ⇒ cos θ = 1/√2 ✗ | cos θ = ±1/√2，再按区间取舍（p.3.42） |
| ⑫ 证明时两边同时变形 | L.H.S. = … = R.H.S.（循环） | 单边化简到与另一边相同（全章规范） |
| ⑬ 归纳法跳步 | 「由假设可得」而不运算 | 第 ④ 步必须写出积化和差的代数过程（p.3.53） |
| ⑭ 单位/近似丢失 | 答案缺 rad 或未取 3 sig. fig. | 看题目要求（p.3.5、3.11 反复强调） |
| ⑮ tan(A±B) 分母符号 | tan(A+B) 分母写 1 + tan A tan B ✗ | 加号配减、减号配加（p.3.32） |
自检法把这张表当作「错题本模板」：每次作业/测验收卷后，标出自己撞中了几号陷阱。连续两周不重复同一编号，即视为该陷阱已消除。
⑤
31 个例题全索引（可筛选）
pp. 3.4 – 3.53例题是教材的「题眼」：每道例题后都紧跟一道 Instant Drill（同构题）与对应的 Exercise 题号。下表按难度筛选，可按需刷题。
| 例 | 页 | 等级 | 主题 | 核心技法 | 对应练习 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 3.4 | L1 | 度 → 弧度 | × π/180，先约分 | Ex3A 2–4 |
| 2 | 3.5 | L1 | 弧度 → 度 | × 180/π；3 sig. fig. | Ex3A 5, 6 |
| 3 | 3.9 | L1 | 由坐标求六函数值 | 先算 r = √(x²+y²) | Ex3B 1–4 |
| 4 | 3.13 | L1 | 符号 → 象限 | 两条件取交集 | Ex3B 7–10 |
| 5 | 3.13 | L1 | 由一值求其余 | 自设 x、y，符号按象限 | Ex3B 11–13 |
| 6 | 3.14 | L2 | 两象限 ⇒ 两组答案 | y = ±4 分情况 | Ex3B 21–23 |
| 7 | 3.15 | L1 | 解方程（度制） | 参考角 + CAST；2x 换元 | Ex3B 14, 15 |
| 8 | 3.16 | L2 | 解方程（弧度 + 平移） | 区间同步 + 舍根检验 | Ex3B 26 |
| 9 | 3.17 | L2 | 二次型方程 | 因式分解 + 用 |cos|≤1 筛根 | Ex3B 27 |
| 10 | 3.22 | L1 | 化简（乘积） | 全部拆 sin/cos | Ex3C 1–6 |
| 11 | 3.22 | L1 | 用平方恒等式 | 1 + tan² = sec²，象限定号 | Ex3C 7, 8 |
| 12 | 3.23 | L2 | 证明恒等式（分式） | 1 → cosec²−cot²，再因式分解 | Ex3C 16, 17 |
| 13 | 3.25 | L1 | 诱导公式求值 | 拆成特殊角 ± 角 | Ex3C 12 |
| 14 | 3.26 | L2 | 多重诱导化简 | 四角逐个化简，再套平方恒等式 | Ex3C 22, 23 |
| 15 | 3.26–27 | L2 | 先证后解 | 平方后去负号 → 化为 1/(1+cos θ) | Ex3C 24–27 |
| 16 | 3.33 | L1 | 求 15°、105° 型值 | 拆成两个特殊角的和差 | Ex3D 1–3 |
| 17 | 3.34 | L1 | 配凑角求 tan A | A = (A+B) − B | Ex3D 17, 18 |
| 18 | 3.34 | L2 | 通分化简 | 识别 sin(X−Y) 结构 | Ex3D 19, 20 |
| 19 | 3.35 | L2 | cot(α−β) 公式 | 先证公式，再比对 α、β | Ex3D 21 |
| 20 | 3.36 | L2 ★ | 条件恒等式 + 方程 | 条件交叉相乘；换元后区间同步 | Ex3D 26–28 |
| 21 | 3.41 | L1 | 降幂化简 | (1−cos2θ)/sin2θ = tan θ | Ex3E 4, 5 |
| 22 | 3.41 | L1 | 反求 tan 15° | 二倍角 + 二次公式 + 舍负根 | Ex3E 10 |
| 23 | 3.42 | L2 ★ | 8cos⁴θ 降幂 + 解方程 | 从 R.H.S. 往 L.H.S. 化简 | Ex3E 20–22 |
| 24 | 3.43–44 | L2 ★ | tan 3x 与乘积恒等式 | tan(2x+x)；猜 x = π/18 | Ex3E 24, 25 |
| 25 | 3.48 | L1 | 积 → 和 | 系数补 1/2；sin(−x) 提负号 | Ex3F 1, 2 |
| 26 | 3.49 | L1 | 不用计算器求值 | 把乘积变成特殊角的和差 | Ex3F 5 |
| 27 | 3.49 | L2 | 积化和差证恒等式 | 常数角互相抵消只剩 2x | Ex3F 21 |
| 28 | 3.50 | L1 | 和 → 积 | cos(−θ)=cos θ 去负号 | Ex3F 3, 4 |
| 29 | 3.51 | L2 | 分式恒等式 | 首尾合并 → 提公因式 → 约分 | Ex3F 18–20 |
| 30 | 3.52 | L2 ★ | 三项式因式 + 解方程 | 合并首尾产生公因式 sin 2θ | Ex3F 24, 25 |
| 31 | 3.52–53 | L2 | 数学归纳法 | 五步 + 积化和差完成第 ④ 步 | Ex3F 30, 31 |
难度分布Level 1 = 16 题（52%），Level 2 = 15 题（48%），教材没有 Level 3 例题 —— Level 3 只出现在练习中，说明「难题 = 基础例题的组合」，本节表的技法已足够应付。
⑥
练习体系矩阵
Exercise 3A–3F + Supplementary 3 + 公开试题| 练习 | 页码 | 题量 | 对应节 | 难度分布 | 核心训练目标 |
|---|---|---|---|---|---|
| Exercise 3A | 3.6–3.7 | 14 | 3.1 | L1: 1–8 L2: 9–13 L3: 14 | 弧度定义、换算、多边形内角 |
| Exercise 3B | 3.18–3.20 | 30 | 3.2 | L1: 1–15 L2: 16–27 L3: 28–30 | 六函数求值、符号、解方程 |
| Exercise 3C | 3.28–3.30 | 30 | 3.3 | L1: 1–13 L2: 14–28 L3: 29–30 | 恒等式化简/证明、诱导公式 |
| Exercise 3D | 3.37–3.39 | 32 | 3.4 | L1: 1–18 L2: 19–29 L3: 30–32 | 复角公式求值、化简、条件恒等式 |
| Exercise 3E | 3.45–3.47 | 27 | 3.5 | L1: 1–13 L2: 14–25 L3: 26–27 | 二倍角、降幂、三倍角 |
| Exercise 3F | 3.55–3.57 | 34 | 3.6 | L1: 1–15 L2: 16–32 L3: 33–34 | 和积互化、归纳法求和 |
| Supplementary Exercise 3 | 3.60–3.64 | 约 45 | 全章 | L1: 1–21 L2: 22–44 L3: 45+ | 跨节综合，考前必刷 |
| Public Exam Questions | 3.65–3.67 | 9 套 DSE | 全章 | 真题原卷 | 熟悉分值与答题要求（见下节） |
| Chapter Summary | 3.58–3.59 | — | 全章 | — | 公式速查 + 6 个示范例 |
| Inquiry & Investigation | 3.67–3.68 | 1 | 3.4 | — | 用托勒密定理推导 sin(x+y) |
建议刷题优先级
第一轮（必做）
每个 Exercise 的 Level 1 + 对应例题的 Instant Drill。目标：公式识别速度 < 30 秒/题。
第二轮（提高）
Level 2 中与例题同构的题（表中已标）＋ G 卷 Supplementary 的 L1–L2。
第三轮（冲星）
Level 3 + Public Exam Questions 全 9 套（限时：6 分题 10 分钟、8 分题 14 分钟）。
⑦
DSE 真题年表（教材收录 9 套）
pp. 3.65 – 3.67教材在章末集中收录了 2012–2022 年的公开试题，构成本章的「考法说明书」。观察这 9 套题的共同点，可归纳出 DSE M2 对本节的三条出题规律：① 必考「证明 + 由此求解」两段式；② 必用和积互化或二倍角降幂；③ 必有一个「猜角 / 配凑」的巧思。
| 年份 | 分值 | 题目结构 | 核心考点 |
|---|---|---|---|
| HKDSE 2022 | 5 | (a) 证明含 cot / tan 的恒等式 (b) 解该式 = 5（π/4 ≤ θ ≤ π/2） | 复角公式 + cot 变换 + 区间筛解 |
| HKDSE 2021 | 6 | (a) 证 cos 2x + cos 4x + cos 6x = 4cos x cos 2x cos 3x − 1 (b) 解 cos 4θ + cos 8θ + cos 12θ = −1 | 和差化积（首尾合并）+ 二倍角 |
| HKDSE 2020 | 6 | (a) 证 tan 3x 公式与 tan x tan(60°−x) tan(60°+x) = tan 3x (b) 证 tan 55° tan 65° tan 75° = tan 85° | tan 3x + 猜角代入（= 例 24 原型） |
| HKDSE 2018 | 5 | (a) cot A = 3cot B ⇒ sin(A+B) = 2sin(B−A) (b) 借此解方程（0 ≤ x ≤ 2π） | 条件恒等式 + 换元（= 例 20 原型） |
| HKDSE 2017 | 8 | (a) 证 sin 3x = 3sin x − 4sin³x (b)(i) 化简易分式 (ii) 解方程 | 三倍角 + 分式化简 + 区间取舍 |
| HKDSE 2016 | 6 | (a) 证 x + 1 是 4x³ + 2x² − 3x − 1 的因式 (b) cos 3θ 用 cos θ 表示 (c) 证 cos(π/5) 的精确值 | 三倍角 ↔ 三次方程 ↔ 因式定理（跨主题） |
| HKDSE 2015 | 7 | (a) 证 sin²x cos²x = (1 − cos 4x)/8 (b) f(x)=sin⁴x+cos⁴x 化为 A cos Bx + C (ii) 解 8f(x) = 7 | 降幂公式 + 极值/值域 |
| HKDSE 2015 | 8 | (a) 归纳法证 Σ sin kx 公式 (b) 求 Σk=167 cos(5kπ/7) | 数学归纳法 + 求和恒等式（= 例 31 型） |
| HKDSE 2012 | 6 | 等腰三角形 OAB 图形题：(a) 证 y 与 sec²θ 的关系 (b) 求 y 的值域 | 三倍角 + 几何建模 + 值域分析 |
命题规律（据此复习最省力）
- 6 年里有 5 年考「三项式和差化积」：cos A + cos B + cos C 或 sin A + sin B + sin C 类型，一律「首尾合并 → 提公因式」。
- 三倍角是隐藏高频点（2016、2017、2020、2012）：必须能默写 sin 3x、cos 3x、tan 3x。
- 归纳法只在 3.6 出现：与求和公式绑定，且答案通常长成 sin(nx/2)sin((n+1)x/2)/sin(x/2)。
- 答案形式要求严：π 的精确值、3 位有效数字、"in terms of π" 等，务必照抄题目要求。
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学习路线与自测清单
建议 3 周完成，可勾选记录三周推进表
| 阶段 | 内容 | 产出标准 | 预计用时 |
|---|---|---|---|
| 第 1 周 打地基 | 3.1 + 3.2（含 Ex 3A、3B 的 L1） | 能 10 分钟默写弧度换算表；能独立完成例 3–9 并解释每一步为何 | 5–6 小时 |
| 第 2 周 抓工具 | 3.3 + 3.4（含 Ex 3C、3D 的 L1–L2） | 能默写 48 条诱导公式中的任意一条（用口诀现推）；能证例 12、14 这类分式恒等式 | 7–8 小时 |
| 第 3 周 冲刺 | 3.5 + 3.6（含 Ex 3E、3F 的 L2–L3） | 能独立完成 Supplementary 3 的 L2、以及 2018/2020/2021 三年真题 | 8–10 小时 |
| 考前 | Chapter Summary + 9 套真题限时重做 | 6 分题 10 分钟内完成且步骤书写完整 | 3–4 小时 |
本卷（M2A Ch.3）掌握度自测
已完成 0 / 20
达到什么程度算「过关」上面 20 项中勾选 ≥ 17 项，且能限时完成 HKDSE 2018、2020、2021 三套真题，即视为本章达标；若 ≤ 12 项，请回到对应小节重做 Instant Drill 系列（配对练习最短、最精准）。